Curl, 벡터 미분연산자의 정성적 의미 참고 (1)

출처: http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/curl.html

회전(回轉, curl)의 의미

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "회전의 의미"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분법의 의미
2. 좌표계 기반 벡터
3. 적분법의 의미
4. 구배의 의미
5. 발산의 의미


전파공학과에 대대로 내려오는 전설이 있다. "학부 4학년을 졸업할 때까지 회전 연산자의 진짜 의미를 알면 천재다."

학부생들이 매우 어려워해서 "전자기학"을 "잠자기학"으로 만드는 원흉이 바로 회전 연산자이다.
이 회전 연산자는 분명히 말하지만 쉽지 않다. 하지만, 아래에 회전 연산자를 이해하기 위한 비법이 숨어 있다. 학부 졸업하기 전까지 이해해서 천재가 되어 보도록 하자.

[그림 1] 물레방아(출처: wikipedia.org)

회전 연산자를 이해하기 위해 [그림 1]의 물레방아를 살펴보자. 바람개비, 풍차, 물레방아와 같은 회전체가 돌아가는 원리는 무엇인가?
바로 물레방아의 양끝에 동일한 힘이 가해지지 않고 서로 다른 힘이 가해지기 때문에 물레방아가 회전할 수 있는 것이다.
이를 수학적으로 표현하는 연산자가 식 (1)에 제시한 회전 연산자이다.

             (1)

여기서 벡터 A¯=(Ax,Ay,Az)로 정의한다.
[그림 1]의 물레방아가 회전할 수 있도록 x-y 평면에 힘의 방향을 표시한 것이 [그림 2]이다.

[그림 2] 물레방아를 회전 연산자로 설명(출처: wikipedia.org)

만약 좌표계의 x축 방향으로 벡터 Ay가 작용하면 물레방아는 회전하게 된다. 혹은 좌표계의 y축 방향으로 벡터 Ax가 작용하게 되면 역시 물레방아가 회전한다.
이게 헷갈리면 가까운 곳에 있는 물레방아로 가서 물이 물레방아의 어느 위치로 떨어지는지 관찰하자. 물레방아 관찰도 힘들다면 나무젓가락, 색종이, 압침으로 바람개비를 만들어 회전이 이해될 때까지 바람개비를 돌리자.
[그림 2]에서 좌표계의 x축 방향 벡터 변화를 보자.
[그림 2]에서 위치가 x=a보다 작으면 작용하는 힘이 없고 x=a보다 크면 2ΔAy 만큼의 힘이 작용한다. (빨간색 화살표를 ΔAy로 간주) 그러면 x축에 대한 Ay의 변화는 2ΔAy−0=2ΔAy가 된다. 이때 x축 방향 변화인 Δx로 나누면 회전을 생성하기 위한 변화율은 식 (1)의 z방향 벡터성분과 비슷하게 2ΔAy/Δx가 된다.
마찬가지로 y축 방향 벡터 변화도 계산할 수 있다. y=b보다 작으면 0이고 y=b보다 크면 벡터 Ax의 변화는 ΔAx−0=ΔAx가 된다. (녹색 화살표를 ΔAx로 간주) y축 방향 변화인 Δy로 나누면 그 변화율은 ΔAx/Δy가 된다.
여기서 조심할 부분이 하나있다. 회전은 벡터량이므로 크기 뿐만 아니라 방향도 고려해야 한다.

[그림 3] 회전 벡터를 정의하기 위한 오른손 법칙(출처: wikipedia.org)

회전 벡터을 정의하기 위해 [그림 3]을 고려하자. 회전을 한다는 것은 원운동을 하는 것인데 그 회전 벡터 방향을 [그림 3]처럼 빨간 화살표로 표현하기는 번거롭다.
그래서, 오른손 법칙을 도입해서 원운동 방향(네손가락이 가리키는 방향)을 [그림 3]처럼 엄지손가락의 방향(파란색 화살표)으로 정의한다.
이 오른손 법칙 개념을 [그림 2]에 적용하면 빨간 화살표는 z 벡터 방향을 가리키고 녹색 화살표는 −z 벡터 방향을 지시하므로 x와 y축 변화에 의한 회전 연산자 특성은 아래로 정의해야 한다.

                       (2)

식 (2)는 식 (1)의 z축 방향 회전 연산자 성분과 동일하다. 이 개념을 y-z, z-x 평면에도 적용하면 식 (1)과 같은 공식을 얻을 수 있다.
따라서 식 (1)에 제시한 회전 연산자의 의미는 회전 검출기(rotation detector)이다. 임의의 벡터 함수에 회전 연산자를 적용하면 이 벡터 함수가 회전이 있는지 여부를 회전 검출기로 판별할 수 있다.

발산 연산자와 비슷하게 회전 연산자를 면적 적분(面積積分, surface integral)에 적용하면 스톡스 정리(Stokes' theorem)를 유도할 수 있다.

[3. 스톡스 정리]

                       (3)

여기서 벡터 da¯는 면적 미분소(differential surface), 벡터 dl¯은 선미분소(differential line)이다. 벡터 da¯와 dl¯의 방향은 [그림 4]와 같이 오른손 법칙으로 정한다. 식 (3)에서 적분 기호에 동그라미가 있는 것은 적분의 시작점과 끝점이 같은 선적분을 의미한다.

[그림 4] 면적 미분소와 선미분소의 방향 정의(출처: wikipedia.org)

[증명]
스톡스 정리는 발산 정리와 비슷하므로 3차원 공간상에 [그림 5]와 같은 면적 차분 ΔS(= ΔxΔy)를 고려한다. 극한의 정의상 면적 차분을 무한히 줄이면 면적 미분소 da¯가 된다.

[그림 5] 데카르트 좌표계상의 면적 차분

식 (3)을 증명하기 위해 식 (3)의 우변을 식 (4)와 같이 차분으로 바꾼다.

                       (4)

식 (4)는 선적분의 차분이므로  벡터 Ax,Ay에 대한 차분값을 합치고 극한을 취하면 식 (5)를 얻는다.

                       (5)

식 (5)의 결과를 모든 면적에 대해 모으면 적분이 되므로 ΔxΔy 면적 차분에 대해 식 (3)을 증명할 수 있다.
이 결과를 ΔyΔz, ΔzΔx 면적 차분으로 확장하면 식 (3)의 일반식을 증명할 수 있다.
발산 정리와 동일하게 수학적으로 엄밀하게 유도하려면 식 (4)의 면적 차분에 리만 적분을 적용해서 식 (3)을 증명해야 한다.
발산 정리와 비슷하게 면적에 대한 선적분 합성은 좀더 생각을 해야 한다. 이를 이해하기 위해 [그림 6]을 살펴보자.

[그림 6] 선적분의 구간 합성

[그림 6]에서 두 개의 면적 적분 영역을 합치면 하나의 면적 적분으로 합성됨을 쉽게 이해할 수 있다. 하지만, 두 개의 선적분을 그냥 합치면 [그림 6]의 좌측과 우측은 동일하지 않다.
이를 해결하기 위해 선적분을 정의할 때 벡터적으로 정의한다. 즉, [그림 6]의 좌측 선적분을 합칠 때 녹색 화살표와 빨간색 화살표가 서로 중첩이 되도록 한다. 녹색 화살표와 빨간색 화살표는 크기는 같고 방향은 반대이으로 정확히 서로 상쇄되어 합성한 선적분에 전혀 기여하지 않는다.
따라서, [그림 6]의 좌측 선적분들의 합성은 필연적으로 [그림 6]의 우측 선적분이 된다.
이 개념을 활용하면 일반적인 경우에 대해(적분 영역을 어떻게 잡더라도) 식 (3)이 증명된다.
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발산 정리와 스톡스 정리를 활용하면 다양한 벡터 항등식을 유도할 수 있다.

[6. 회전 연산자의 영인자(零因子, nullity)]

                       (6)

[증명]
식 (6)을 면적 적분하고 식 (3)의 스톡스 정리를 적용하면

                       (7)

식 (7)의 우변이 0이 되는 것은 구배 연산자의 특성 때문이다.
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[8. 발산 연산자의 영인자(零因子, nullity)]

                       (8)

[증명: 스톡스 정리]
식 (8)을 체적 적분하고 발산 정리를 적용하면

                       (9)

식 (9)의 우변에 있는 닫힌 표면적 S를 [그림 7]과 같이 S1과 S2로 분리하자.

[그림 7] 닫힌 표면적의 영역별 분리

[그림 7]의 S1과 S2 표면적 각각에 대해 식 (3)의 스톡스 정리를 적용하면 식 (10)과 같이 선적분의 크기는 같고 방향이 다른 결과가 얻어져서 최종 결과는 0이 된다.

                        (10)

여기서 C1은 빨간색 화살표, C2는 파란색 화살표이며 C1=−C2를 만족한다.
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식 (8)을 증명하기 위해 식 (10)처럼 수식 전개를 했지만 증명의 핵심은 [그림 7]이다. 닫힌 표면적은 자른 단면이 동일한 윗면과 아랫면으로 항상 나눌 수 있다. 이때 윗면과 아랫면의 면적 벡터 방향은 서로 반대이므로 스톡스 정리를 식 (8)에 적용하면 항상 0이 된다.

[증명: 발산과 회전의 정의]
식 (1)에 제시한 데카르트 좌표계의 회전 정의와 아래 발산 정의를 기계적으로 식 (8)에 대입하면 식 (8)의 결과가 0이 되는 것을 보일 수 있다.

                        (11)
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벡터 함수 A¯가 구배 연산자로 표현되면 식 (6)에 의해 당연히 A¯의 회전은 0이 된다. 거꾸로 A¯의 회전이 0이라면 이 벡터 함수는 구배 연산자로만 표현될 것인가?

이 질문에 대한 답이 아래 정리이다.

[11. 회전 연산자의 영인자 ≡ 구배 연산자]
회전이 0인 벡터 함수는 반드시 구배 연산자로만 표현된다.

                        (12)

[증명]
식 (1)을 0이라 두면 회전이 0이기 위한 벡터 함수 A¯=(Ax,Ay,Az)의 조건은 아래와 같다.

                        (13)

식 (13)을 적분하면 벡터 함수 Ax,Ay,Az의 관계는 식 (14)로 표현된다.

                        (14)

여기서 함수 g1,h1,g2,h2는 편미분에 대한 적분 상수가 된다.
식 (14)를 보면 Ay와 Az는 각각 적분 조건 두 가지를 만족해야 한다.
식 (14)의 두번째 수식을 세번째 수식에 넣고 정리하면 Ay가 가져야 되는 다음 조건을 얻을 수 있다.

                        (15)

마찬가지로 식 (14)의 첫번째 수식을 네번째 수식에 대입하면 Az도 식 (16)의 조건이 성립해야 한다.

                        (16)

그러므로, 식 (15)와 (16)이 성립하려면 아래 관계식을 만족해야 한다.

                        (17)

식 (17)의 첫번째 식을 z에 대해 미분하거나 두번째 식을 y에 대해 미분하면 g1(y,z)와 h1(y,z)는 다음 조건을 만족해야 한다.

                        (18)

식 (14)가 의미하는 것은 함수 Ax가 정해지면 Ay와 Az는 자동적으로 결정된다는 것이다.
Ax=∂f/∂x라 가정하고 이를 식 (14)의 첫째식과 둘째식에 대입하면

                        (19)

여기서 f=f(x,y,z)이며 적분 상수 g1(y,z)와 h1(y,z)는 고려하지 않았다.
적분 상수 g1(y,z)와 h1(y,z)를 고려하기 위해 식 (19)와 유사하게 g1(y,z)=∂g(y,z)/∂y라 가정하고 식 (18)에 대입하면 다음 관계를 얻을 수 있다.

                        (20)

새로운 적분 상수 h3(z)를 생각하지 않으면 식 (20)으로부터 적분 상수 g1(y,z)와 h1(y,z)는 어떤 함수 g(y,z)의 구배라는 것을 알 수 있다.
최종적으로 h3(z)=∂h(z)/∂z라 가정하면 식 (19), (20)으로부터 회전이 0인 벡터 함수는 아래와 같이 반드시 구배 연산자로 표현됨을 증명할 수 있다.

                        (21)
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[그림 8] 그린 정리를 위한 적분 영역(출처: wikipedia.org)

[22. 그린 정리(Green's theorem]

                        (22)

[증명]
그린 정리는 스톡스 정리의 특별한 경우이다. A¯=(Ax,Ay,0)라 두고 이를 식 (3)에 대입하면 식 (22)를 얻을 수 있다.
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[23. 스톡스 정리의 변형]

                         (23)

[증명]
식 (3)에 의해 임의 스칼라 함수 f와 상수 벡터 C¯에 대해 다음 정리가 성립한다.

                         (24)

식 (24)에 다음 벡터 항등식(vector identity)을 적용하자.

                         (25)

그러면 아래 식이 항상 성립해야 한다.

                         (26)

식 (26)의 세째줄은 상수 벡터 C¯에 대한 항등식이다. 즉, 임의의 상수 벡터와 내적(inner product)한 값이 항상 0이 되는 벡터는 영벡터이므로 식 (23)이 반드시 성립해야 한다.
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[다음 읽을거리]
1. 벡터 항등식
2. 헬름홀츠 정리
3. 텐서 미적분학
4. 복소 함수론의 이해

출처 : http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/curl.html